\[
\partial _t L = \frac{1}{2} \bigtriangledown^2 L = \frac{1}{1} \sum_{i=1}^D \partial _{x _i x _i}L
\]
với $L(\cdot , 0) = f(\cdot) $, một cách tương đương L có thể được định nghĩa bằng cách convolution f với hàm gaussian g
\[
L(\cdot, t) = g( \cdot, t) \star f(\cdot)
\]
ở đây: $g: \Re^D \times R_{+} \rightarrow \Re$ được cho bởi
\[
g(x, t) = \frac{1}{{2\pi t}^{\frac{D}{2}}} e^{-\frac{({x _1}^2+{x _2}^2+ ... +{x _D}^2)}{2t}}
\]
Nhiều kết quả toán học cho thấy rằng hàm gaussian là kernel duy nhất để tạo ra scale - space. Một điều thú vị là những nghiên cứu trong lĩnh vực neurophysiology cho thấy rằng trường thị giác trong võng mạc và vỏ não có thể được mô hình bởi vi phân của hàm gaussian đến bậc 4. Vi phân của hàm $L$ được cho bởi
\[
L _{x^\alpha} =(\partial _{x^{\alpha}}L)(\cdot, t) = (\partial _{x^{\alpha}} g) \start f =g \start (\partial _{x^{\alpha}} f)
\]
một điểm cần lưu ý là biên độ (amplitude) của của $L _{x^\alpha}$ sẽ giảm theo scale t. Đó là do tính chất không tăng cường (non-enhancement) của cực trị cục bộ phát biểu rằng "giá trị của cực đại cục bộ không tăng, và giá trị của cực tiểu cục bộ sẽ không giảm" --> biên độ sẽ giảm theo scale.
Ta định nghĩa toán tử vi phân chuẩn hóa $\gamma$ như sau:
\[
\partial _{\xi , \gamma -norm} = t^{\gamma/2}\partial _x
\]
tương đương với việc thay đổi biến $\xi = \frac{x}{t^{\gamma/2}}$
2. Tính chất scale chung cho việc chọn cực đại cục bộ over scale
Một ảnh được scale bởi scaling factor là s thì scale $t _{max}$ tại đó đạt cực đại sẽ dược nhân bởi giá trị $s^2$
Xem xét f' là tín hiệu được scale của f. Nghĩa là $f(x) = f^{\prime} (sx) $ thì biểu diễn không gian tỉ lệ ứng với hai ảnh sẽ là:
\[
L(\cdot ; t) = g(\cdot, t) \star f(\cdot)
\]
\[
L^{\prime}(\cdot ; t^{\prime}) = g^{\prime} (\cdot, t^{\prime}) \star f^\prime (\cdot)
\]
khi đó để L' và L có cùng bằng nhau thì $\sigma ^{\prime} = s\sigma$ (với $\sigma ^{\prime}$ và $\sigma$ lần lượt là độ lệch chuẩn của g' và g) --> $t^{\prime} = s^2 t$
Ta có:
\[
\begin{align*}
L^{\prime}(x^{\prime} ; t^{\prime}) & = g^{\prime} (x^{\prime}, t^{\prime}) \star f^\prime (x^{\prime})\\
& = \int_{v _1 = -\infty}^{\infty} \int_{v _2 = -\infty}^{\infty} \frac{1}{2t^{\prime}}e^{-\frac{{v _1}^2+{v _2}^2}{2t^{\prime}}} f^{\prime}(x^{\prime} _1 - v _1, x^{\prime} _2 - v 2) dv _1 dv _2
\end{align*}
\]
ở đây $x^{\prime} = (x^{\prime} _1, x^{\prime} _2) ; v = (v _1, v _2); x = (x _1, x _2) $
đặt $v = su = (s u _1, su _2) \rightarrow dv _1 = s du _1 và dv _2 = s du _2$
suy ra
\[
\begin{align*}
L^{\prime}(x^{\prime}; t^{\prime}) & = \int_{u _1 = -\infty}^{\infty} \int_{u _2 = -\infty}^{\infty} \frac{1}{2s^2t}e^{-\frac{s^2({u _1}^2+{u _2}^2)}{2s^2t}} f^{\prime}(sx _1 - su _1, sx _2 - su 2) s^2du _1 du _2\\
& = \int_{u _1 = -\infty}^{\infty} \int_{u _2 = -\infty}^{\infty} \frac{1}{2t}e^{-\frac{{u _1}^2+{u _2}^2}{2t}} f^{\prime}(sx) du _1 du _2\\
& = \int_{u _1 = -\infty}^{\infty} \int_{u _2 = -\infty}^{\infty} \frac{1}{2t}e^{-\frac{{u _1}^2+{u _2}^2}{2t}} f(x) du _1 du _2\\
& = g(x, t) \star f(x) \\
& = L(x, t)
\end{align*}
\]
đạo hàm riêng bậc m trong hai scale sẽ có mối quan hệ như sau:
\[
\partial_{x^m} L(x, t) =s^m \partial_{x^m} L^{\prime}(x^{\prime}, t^{\prime})
\]
Chứng minh:
* m = 1:
\[
\begin{align*}
\partial _{x_i} L(x; t) & = \partial _{x_i}(g(x; t) \star f(x))\\
& = (\partial _{x_i}g(x; t)) \star f(x)\\
& = (\partial _{x _i} -\frac{1}{2\pi t}e^{-\frac{{x _1}^2 + {x _2}^2 }{2t}}) \star f(x)\\
& = (\frac{x _i}{t} (-\frac{1}{2\pi t})e^{-\frac{{x _1}^2 + {x _2}^2 }{2t}}) \star f(x)\\
& = (\frac{x _i}{t}g(x;t) )\star f(x)\\
& = \frac{x _i}{t} (g(x;t) \star f(x))\\
& = \frac{\frac{x^{\prime} _i}{s}}{\frac{t^{\prime}}{s^2}} (g(x^{\prime};t^{\prime}) \star f^{\prime}(x^{\prime}))\\
& = s (g(x^{\prime};t^{\prime}) \star f^{\prime}(x^{\prime}))\\
& = s \frac{x^{\prime} _i}{t^{\prime}}(g(x^{\prime};t^{\prime}) \star f^{\prime}(x^{\prime}))\\
& = s (\frac{x^{\prime} _i}{t^{\prime}}g(x^{\prime};t^{\prime})) \star f^{\prime}(x^{\prime})\\
& = s (\partial _{x^{\prime} _i}g(x^{\prime};t^{\prime})) \star f^{\prime}(x^{\prime})\\
& = s (\partial _{x^{\prime} _i}g(x^{\prime};t^{\prime}) \star f^{\prime}(x^{\prime}))\\
& = s \partial _{x^{\prime} _i} L^{\prime}( x^{\prime}; t^{\prime})\\
\end{align*}
\]
Giả sử đúng với m = n-1 nghĩa là $\partial _{x^{n-1}} L(x; t) = s^{n-1} \partial _{x^{\prime} ^{n-1}} L^{\prime}( x^{\prime}; t^{\prime})$ ta cần chứng minh đúng với m = n, ta có:
\[
\begin{align*}
\partial _{x^n} L(x; t) & = \partial _{x_i} \partial _{x^{n-1}}L(x; t) \\
& = \partial _{x_i} (s^{n-1}\partial _{x^{\prime} ^{n-1}} L^{\prime}( x^{\prime}; t^{\prime}))\\
& = s^{n-1} (\partial _{x_i} \partial _{x^{\prime} ^{n-1}} L^{\prime}( x^{\prime};t^{\prime}))\\
& = s^{n-1} (\partial _{x^{\prime} _i}\partial _{{x^{\prime}}^{n-1}}L^{\prime}( x^{\prime}; t^{\prime}) )\\
& = s^{n-1} (\partial _{{x^{\prime}}^n} L^{\prime}( x^{\prime}; t^{\prime}) ) s\\
& = s^n (\partial _{{x^{\prime}}^n} L^{\prime}( x^{\prime}; t^{\prime}) )\\
\end{align*}
\]
Vậy: $\partial _{x^m} L(x; t) = s^m (\partial _{{x^{\prime}}^m} L^{\prime}( x^{\prime}; t^{\prime}) )$. Do s>1 nên công thức này cho ta thấy rằng, vi phân cục bộ giảm cùng với quá trình smooth ảnh.
Vi phân chuẩn hóa $\gamma$ được cho bởi:
\[
\partial _\xi = t^{\gamma /2} \partial _x
\]
\[
\partial _\xi^{\prime} = {t^{\prime}}^{\gamma /2} \partial _x^{\prime}
\]
thì
\[
\partial _{\xi^{m}}L(x;t) = s^{m(1-\gamma)}\partial _{{\xi^{\prime}}^{m}}L^{\prime}(x^{\prime};t^{\prime})
\]
Chứng minh:
Ta có:
\[
\begin{align*}
\partial _\xi^m L(x ;t) &= \partial _\xi \partial _\xi ... \partial _\xi L(x; t)\\
&= \partial _\xi \partial _\xi ... (t^{\gamma /2}\partial _x L(x; t))\\
&= t^{\gamma /2}(\partial _\xi \partial _\xi ... (\partial _x L(x; t)))\\
&= t^{\gamma /2}^{m-1}(\partial _\xi (\partial _{x^{m-1}} L(x; t)))\\
&= (t^{\gamma /2})^m\partial _{x^m} L(x; t)\\
&= \frac{{t^{\prime}}^{m\gamma /2}}{{s^2}^{m\gamma/2}}s^m\partial _{{x^{\prime}}^m} L^{\prime}(x^{\prime}; t^{\prime})\\
&= \frac{s^m}{s^{m\gamma}} ({t^{\prime}}^{m\gamma /2} \partial _{{x^{\prime}}^m} L^{\prime}(x^{\prime}; t^{\prime}))\\
&= s^{m(1-\gamma)} ( \partial _{{\xi^{\prime}}^m} L^{\prime}(x^{\prime}; t^{\prime}))\\
\end{align*}
\]
* Khi $\gamma = 1$ thì $\partial _\xi^m L(x ;t) =\partial _{{\xi^{\prime}}^m} L^{\prime}(x^{\prime}; t^{\prime}))$ thì trường hợp này gọi là perfect scale invariance khi đó vi phân chuẩn hóa giống nhau trong hai hình f và f'
* Khi $\gamma \neq 1$ thì độ lớn của vi phân chuẩn hóa của hai ảnh f và f' là khác nhau tuy nhiên tính chất cực đai cục bộ vẫn không đổi, nghĩa là $\partial _t (\partial _\xi^m L(x ;t)) = 0$ và $\partial _t^{\prime} (\partial _{{\xi^{\prime}}^m}) = 0$ với $t^{\prime} = s^2 t$.
Khi đó do do độ lớn hai vi phân chuẩn hóa khác nhau ta có thể chỉnh sửa một chút để vẫn thu được vi phân chuẩn hóa giống nhau ứng với f và f'
\[
\partial _\alpha = t^{m /2} \partial _x
\]
\[
\partial _\alpha^{\prime} = {t^{\prime}}^{m/2} \partial _x^{\prime}
\]
tương tự ta có được:
\[
\begin{align*}
\partial _{\alpha^m} L(x ;t) &= t^{m /2} \partial _{x^m} L(x; t)\\
&= \frac{{t^{\prime}}^{m/2}}{s^m}s^m\partial _{{x^{\prime}}^m} L^{\prime}(x^{\prime}; t^{\prime})\\
&= {t^{\prime}}^{m/2} \partial _{{x^{\prime}}^m} L^{\prime}(x^{\prime}; t^{\prime})\\
&= \partial _{{\alpha^{\prime}}^m} L^{\prime}(x^{\prime}; t^{\prime})\\
\end{align*}
\]
Sự cần thiết của toán tử vi phân chuẩn hóa $\gamma$ là bù đắp được sự giảm biên độ của của vi phân do quá trình smooth ảnh. Do khi sự thiếu thông tin nên yếu tố chuân hóa chính là thông tin scale, đồng thời quá trình chuẩn hóa phải đảm bảo cho descriptor làm việc tương tự đối với trường hợp không chuẩn hóa nên khi chuẩn hóa thực hiện phép nhân. Do đó toán tử vi phân chuẩn hóa $\gamma$ nên có dạng: $\partial _{\xi^m} = \varphi(t) \partial _{x^m}$ ở đây $\varphi(t) = Ae^B$ với A, B là hằng số.
Tóm lại: nếu có maximum tại $(x _0, t _0) $ trong biểu diễn không gian tỉ lệ của f thì sẽ có điểm maximum tương ứng trong biểu diễn không gian tỉ lệ của f' tại $(sx _0, s^2t _0)$. Tuy nhiên độ lớn của vi phân chuẩn hóa tại những maximum này có thể sẽ khác nhau trừ trường hợp $\gamma =1$, tuy nhiên ta có thể khác phục hiện tương này độ đo độ lớn (magnitude measure) khi $\gamma \neq 1$
Lindeberg đưa ra thuật toán two-stage algorithms bao gồm quá trình dò coarse scale và fine scale. Nguyên do là việc xác định vị trí của feature ở coarse scale sẽ không chính xác.
Dò interest point trong space scale
Với mỗi điểm (x, y, t) tính toán vi phân chuẩn hóa $\gamma$ và chọn những điểm đạt maximum
cả tọa độ không gian và đối số scale nghĩa là:
\[
\begin{cases}
& (\bigtriangledown(D _{norm}L))(x _0; t _0) = 0,\\
& \partial _t (D _{norm}L)(x _0; t _0) = 0
\end{cases}
\]
Cho $f(x _1, x _2) = g(x _1; t _1)g(x _2; t _2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t _1}}e^{-\frac{{x _1}^2}{2t _1}}\frac{1}{\sqrt{2\pi t _2}}e^{-\frac{{x _2}^2}{2t _2}}$
Chứng minh:
\[
L(x _1, x _2; t) = g(x _1; t _1+t)g(x _2; t _2+t)
\]
Ta có: $g(x _1, x _2; t) = \frac{1}{2\pi t}e^{-\frac{{x _1}^2+{x _2}^2}{2t}}$
\[
\begin{align*}
L(x _1, x _2; t) & = g(x _1, x _2; t) \star (g(x _1; t _1+t)g(x _2; t _2+t))\\
& = g(x _1, x _2; t) \star g(x _1; t _1+t) \star g(x _2; t _2+t)\\
& = (\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{{x _1}^2}{2t}} \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{{x _2}^2}{2t}}) \star \frac{1}{\sqrt{2\pi t _1}}e^{-\frac{{x _1}^2}{2t _1}} \star \frac{1}{\sqrt{2\pi t _2}}e^{-\frac{{x _2}^2}{2t _2}}\\
& = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{{x _1}^2}{2t}} \star \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{{x _2}^2}{2t}} \star \frac{1}{\sqrt{2\pi t _1}}e^{-\frac{{x _1}^2}{2t _1}} \star \frac{1}{\sqrt{2\pi t _2}}e^{-\frac{{x _2}^2}{2t _2}}\\
& = (\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{{x _1}^2}{2t}} \star \frac{1}{\sqrt{2\pi t _1}}e^{-\frac{{x _1}^2}{2t _1}}) \star (\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{{x _2}^2}{2t}} \star \frac{1}{\sqrt{2\pi t _2}}e^{-\frac{{x _2}^2}{2t _2}})\\
& = (g(x _1, t _1 + t) \star g(x _2, t _2 + t))\\
& = (g(x _1, t _1 + t) \star (g(x _2, t _2 + t)) \star \delta\\
& = (g(x _1, t _1 + t) g(x _2, t _1 + t) ) \star \delta\\
& = g(x _1, t _1 + t) g(x _2, t _1 + t) \\
& = \frac{1}{2\pi \sqrt{(t+t _1)(t + t _2)}}e^{-\frac{{x _1}^2}{2(t _1 + t)}}e^{-\frac{{x _2}^2}{2(t _2 + t)}}\\
\end{align*}
\]
\[
\partial _{x _1}L = \frac{1}{2\pi \sqrt{(t+t _1)(t + t _2)}}e^{-\frac{{x _2}^2}{2(t _2 + t)}} (-\frac{x _1}{(t + t _1)})e^{-\frac{{x _1}^2}{2(t _1 + t)}}
\]
\[
\partial _{{x _1}^2}L = \frac{1}{2\pi \sqrt{(t+t _1)(t + t _2)}}e^{-\frac{{x _2}^2}{2(t _2 + t)}}e^{-\frac{{x _1}^2}{2(t _1 + t)}} (\frac{{x _1}^2}{(t + t _1)^2}-\frac{1}{(t + t _1)})
\]
tương tự ta sẽ có:
\[
\partial _{x _2}L = \frac{1}{2\pi \sqrt{(t+t _1)(t + t _2)}}e^{-\frac{{x _1}^2}{2(t _1 + t)}} (-\frac{x _2}{(t + t _2)})e^{-\frac{{x _2}^2}{2(t _2 + t)}}
\]
\[
\partial _{{x _2}^2}L = \frac{1}{2\pi \sqrt{(t+t _2)(t + t _1)}}e^{-\frac{{x _1}^2}{2(t _1 + t)}}e^{-\frac{{x _2}^2}{2(t _2 + t)}} (\frac{{x _2}^2}{(t + t _2)^2}-\frac{1}{(t + t _2)})
\]
\[
\begin{align*}
trace D _{norm} L =\bigtriangledown ^2 _{norm} L (x _1, x _2; t) & = t^{\gamma /2} (\partial _{x _1}^2L + \partial _{x _2}^2L) \text{(do }\gamma = 2 \text{)}\\
& = t \frac{1}{2\pi \sqrt{(t+t _2)(t + t _1)}}e^{-\frac{{x _1}^2}{2(t _1 + t)}}e^{-\frac{{x _2}^2}{2(t _2 + t)}} (\frac{{x _1}^2}{(t + t _1)^2}-\frac{1}{(t + t _1)} + \frac{{x _2}^2}{(t + t _2)^2}-\frac{1}{(t + t _2)})
\end{align*}
\]
Tìm spatial maximum trong miền không gian:
\[
\begin{align*}
\partial _{x _1}(trace D _{norm} L(x _1, x _2; t)) & = \frac{t}{2\pi \sqrt{(t+t _2)(t + t _1)}}e^{-\frac{{x _1}^2}{2(t _1 + t)}}e^{-\frac{{x _2}^2}{2(t _2 + t)}} \left [ \frac{-x _1}{(t + t _1)} \left ( \frac{{x _1}^2}{(t + t _1)^2}-\frac{1}{(t + t _1)} + \frac{{x _2}^2}{(t + t _2)^2}-\frac{1}{(t + t _2)} \right ) + \frac{2x _1}{(t + t _1)^2}\right ]
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\partial _{x _1}(trace D _{norm} L(x _1, x _2; t)) = 0\\
\Leftrightarrow \frac{-x _1}{(t + t _1)} \left ( \frac{{x _1}^2}{(t + t _1)^2}-\frac{1}{(t + t _1)} + \frac{{x _2}^2}{(t + t _2)^2}-\frac{1}{(t + t _2)} \right ) + \frac{2x _1}{(t + t _1)^2} & = 0\\
\Leftrightarrow {x _1} \left [-\frac{{x _1}^2}{(t + t _1)^2}+\frac{1}{(t + t _1)} - \frac{{x _2}^2}{(t + t _2)^2}+\frac{1}{(t + t _2)} + \frac{2}{(t + t _1)} \right ] & = 0\\
\end{align*}
\]
làm tương tự cho $x _2$. Để đạt maximum trong spacial space thì:
\[
\bigtriangledown (trace D _{norm} L(x _1, x _2; t)) = (\partial _{x _1}(trace D _{norm} L(x _1, x _2; t)), \partial _{x _2}(trace D _{norm} L(x _1, x _2; t))) = 0
\]
một trong những cặp giá trị $ x _1 , x _2 $ thỏa mãn là $ x _1 = x _2 = 0$
\[
\begin{align*}
\bigtriangledown ^2 _{norm} L (0, 0; t) & = t \frac{1}{2\pi \sqrt{(t+t _2)(t + t _1)}} (-\frac{1}{(t + t _1)} -\frac{1}{(t + t _2)})\\
& = \frac{-t}{2\pi \sqrt{(t+t _2)(t + t _1)}} (\frac{1}{(t + t _1)} +\frac{1}{(t + t _2)})\\
& = \frac{-t(2t + t _1 + t_2)}{2\pi {\sqrt{(t+t _2)(t + t _1)}}^3} \\
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\Rightarrow \left| \bigtriangledown ^2 _{norm} L (0, 0; t)\right| & = \frac{t(2t + t _1 + t_2)}{2\pi {\sqrt{(t+t _2)(t + t _1)}}^3} \\
\end{align*}
\]
trong trường hợp $t _1 = t _2 = t _0$ ta có:
\[
\begin{align*}
\bigtriangledown ^2 _{norm} L (0, 0; t) & = \frac{-t(t + t _0)}{\pi {(t + t _0)}^3} \\
\end{align*}
\]
do t>0 nên
\[
\begin{align*}
\bigtriangledown ^2 _{norm} L (0, 0; t) & = \frac{-t}{\pi {(t + t _0)}^2} \\
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\partial _t (\bigtriangledown ^2 _{norm} L (0, 0; t)) & = \frac{-(t+t _0)^2 - (-t)2(t +t0)}{\pi {(t + t _0)}^4}\\
& = \frac{-t-t _0 +2t}{\pi {(t + t _0)}^3} \\
& = \frac{t-t _0}{\pi {(t + t _0)}^3} \\
\end{align*}
\]
\[
\partial _t (\bigtriangledown ^2 _{norm} L (0, 0; t)) & = 0 \Rightarrow t = t _0
\]
Xét độ đo determinant of normalized Hessian matrix
\[
\det H _{norm} L = t^2 ((\partial _{{x _1}^2} L)(\partial _{{x _2}^2} L) -(\partial _{x _1 x_2})^2)
\]
Ta có:
\[
L _{x _1x _2} = \frac{1}{2\pi \sqrt{(t + t _1)(t + t _2)}} (-\frac{-x _1}{t + t _2}) (-\frac{-x _2}{t + t _2})e^{-\frac{{x _1}^2}{2(t+ t _1)}}e^{-\frac{{x _2}^2}{2(t+ t _2)}}
\]
do đó:
\[
\begin{align*}
\det H _{norm} L & = t^2 \left(\frac{e^{-\frac{{x _1}^2}{2(t + t _1)}-\frac{{x _2}^2}{2(t + t _2}}}{2\pi(t + t _1)(t + t _2)} \right)^2 \left[ \left(\frac{{{x _1}^2}}{(t + t _1)^2} - \frac{1}{t + t _1} \right) \left(\frac{{{x _2}^2}}{(t + t _2)^2} - \frac{1}{t + t _2} \right) - \frac{{x _1}^2{x _2}^2} {(t + t _1)^2(t + t _2)^2}\right]\\
& = t^2 \frac{\left[ e^{-\frac{{x _1}^2}{2(t + t _1)}-\frac{{x _2}^2}{2(t + t _2}} \right] ^2}{4{\pi}^2 (t + t _1)^3(t + t _2)^3} \left[ \frac{({x _1}^2 - t - t _1)({x _2}^2 - t - t _2)}{(t + t _1)^2(t + t _2)^2} - \frac{{x _1}^2{x _2}^2}{(t + t _1)^2(t + t _2)^2} \right] \\
& = t^2 \frac{\left[ e^{-\frac{{x _1}^2}{2(t + t _1)}-\frac{{x _2}^2}{2(t + t _2}} \right] ^2}{4{\pi}^2 (t + t _1)^3(t + t _2)^3} \left[ -(t + t _2){x _1}^2 - (t + t _1) {x _2}^2 + (t + t _1) (t + t _2) \right] \\
\end{align*}
\]
tương tự tính toán như trường hợp dùng độ đo $trace D _{norm} L$, tìm spatial maximum
\[
\bigtriangledown \det H _{norm} L (x _1, x _2, t) = 0 \Leftrightarrow (\partial _{x _1}\det H _{norm} L (x _1, x _2, t), \partial _{x _2}\det H _{norm} L (x _1, x _2, t)) = 0 \Leftrightarrow x _1 = x _2 = 0
\]
suy ra:
\[
\begin{align*}
\det H _{norm} L (0, 0, t) & = \frac{t^2 }{4{\pi}^2 (t + t _1)^2(t + t _2)^2}\\
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
\partial _t \det H _{norm} L (0, 0, t) & = \frac{2t(t + t _1)^2(t + t _2)^2 - t^2[2(t + t _1) (t + t _2)^2 + 2(t + t _1)^2 (t + t _2)]}{4{\pi}^2 (t + t _1)^2(t + t _2)^2} \\
& = \frac{2t(t + t _1)(t + t _2) - t^2[2 (t + t _2) + 2(t + t _1) ]}{4{\pi}^2 (t + t _1)(t + t _2)} (\text{ do t} > \text{0})\\
& = \frac{t[t^2 + (t _1 + t _2)t + t _1 t _2 - t^2 - t _2 t - t _1 t - t^2 ]}{2{\pi}^2 (t + t _1)(t + t _2)} (\text{ do t} > \text{0})\\
& = \frac{t[ t _1 t _2 - t^2 ]}{2{\pi}^2 (t + t _1)(t + t _2)} \\
\end{align*}
\]
$\text{do t} >0 $ nên$ \partial _t \det H _{norm} L (0, 0, t) & = 0 \Leftrightarrow t = \sqrt{t _1 t _2}$
Khi $t _1= t _2 = t _0$ thì trong hai hàm D trên thì đều cho kết quả là $t = t _0$
Nhận xét:
Cho một tín hiệu f các bước để dò tim interest point như sau:
1. Tính biểu diễu scale space L của f
2. Tính D của L , hai hàm D có thể sử dụng là
\[
\begin{align*}
D _{trace}(L) = L _{x^2} + L _{y^2}\\
D _{det}(L) = L _{x^2} L _{y^2} - {L}^2 _{xy}\\
\end{align*}
\]
3. Tính $D _{norm}$ của D. Ví dụ:
\[
\begin{align*}
D _{norm_trace}(L) = t^\gamma (L _{x^2} + L _{y^2})\\
D _{norm_det}(L) = t^{2\gamma}(L _{x^2} L _{y^2} - {L}^2 _{xy})\\
\end{align*}
\]
4. Interest point là những điểm thỏa hệ phương trình sau (chú ý, tính trên giá trị tuyệt đối của $D _{norm}$)
\[
\begin{cases}
& (\bigtriangledown |(D _{norm} L))(x _0; t _0)| = 0,\\
& \partial _t |(D _{norm} L)(x _0; t _0)| = 0
\end{cases}
\]
do đó tính toán gradient của $D _{norm} L$ để tìm ra $x _0$ và tính $\partial _t D _{norm} L$ để tìm $t _0$. Nếu có nghiệm thì $(x _0, t _0)$ chính là một điểm interest point.
5. Có thể lấy N điểm có độ đo saliency measure cao nhất. Độ đo này được tính bằng cách thế tọa độ interest point và scale của nó vào phương trình $D _{norm}$
Câu hỏi còn tồn đọng:
1. effective scale có ý nghĩa thế nào trong scale space theory?
Tài liệu tham khảo
[1] Lindeberg, Tony "Feature detection with automatic scale selection", International Journal of Computer Vision, 30, 2, pp 77–116, 1998. [Backup link]
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét