Convolution properties

Convolution định nghĩa một phép nhân trong không gian tuyến tính. Không gian những hàm khả vi với phép tích là convolution sẽ là một đại số giao hoán không có 1 (commutative algebra withou identity)
1. Commutivity (Giao hoán)
\[
f \star g = g \star f
\]
2. Associativity (Kết hợp)
\[
f \star (g \star h)= (f \star g) \star h
\]
3. Distributivity (Phân phối)
\[
f \star (g + h)= (f \star g) +(f \star h)
\]
4. Association with scale multiplication
\[
a(f \star h)= (af) \star g=f \star (ag)
\]

5. Multiplicative identity (Giá trị 1 đối với phép nhân)
Không có giá trị 1 đối với phép convolution tuy nhiên với hầu kết các hàm đều có một hàm $\delta$ (gọi là phân bố delta - delta distribution) để
\[
f \star \delta = f
\]
6. Inverse element (phần tử đảo)
Một số phẩn từ f có phàn tử nghịch đảo $f^{-1}$ để
\[
f^{-1} \star f = \delta
\]
7. Complex conjugation (số phức liên hợp)
\[
\bar{f \star g} = \bar{g} \star \bar{g}
\]
8. Integration (Tích phân)
f, g là hai hàm khả tích thì tích phân trên toàn miền của $f \star g$
\[
\int_{R^d} f \star g dx = (\int_{R^d} f dx )(\int_{R^d} g dx)
\]
9. Differentation (Đạo hàm)
Đối với hàm một biến
\[
\frac{d}{dx}(f \star g) = \frac{d}{dx}(f ) \star g =f \star \frac{d}{dx}( g)
\]
Đối với hàm nhiều biến thì vi phân theo $x _i$
\[
\frac{d}{dx _i}(f \star g) = \frac{d}{dx _i}(f ) \star g =f \star \frac{d}{dx _i}( g)
\]
Ý nghĩa:
Cho ảnh I rồi smooth với kernel K và lấy đạo hàm thì tương tự như smooth I với đạo hàm của K
Trong trường hợp rời rạc với $D(f(x)) = f(x+1) - f(x)$ thì cũng tương tự
\[
D(f \star g) = D(f) \star g = f \star D(g)
\]

10. Fourier Transform & Laplace Transform
\[
F(f \star g) = k F(f)F(g)
\]
với k là hằng số, F là phép biến đổi Fourier hoặc Laplace

11. Translation invariance (bất biến phép tịnh tiến)
Cho phép tịnh tiến $\tau_x(f(y)) = f(y - x)$ ta có
\[
\tau_x(f \star g) = \tau_x(f) \star g = f \star \tau_x(g)
\]
Chú ý: cho một hàm tuyến tính S thỏa $\tau_x(S(f)) = S(\tau_x(f))$ thì tìm được một phân bố $g _s$ để S có thể xem như phép convolution, tức là $S(f) = f \star g$

Do đó một toán tử bất biến phép tịnh tiến có thể được biểu diễn như một phép convolution

Tài liệu tham khảo
[1] Wikipedia
[2] http://cnx.org/content/m10088/latest/